1. Suma a trei numere este 130. Stiind ca ele sunt invers proportionale cu numerele 2,3,4, aflati numerele.
[tex]a+b+c=130[/tex]
[tex]a,b,c[/tex] i.p cu [tex]2,3,4[/tex]
[tex]2a=3b=4c=k[/tex]
[tex]a=\frac{k}{2}[/tex]
[tex]b = \frac{k}{3}[/tex]
[tex]b = \frac{k}{4}[/tex]
[tex]\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 130[/tex]
[tex]6 \cdot k+ 4 \cdot k+3 \cdot k=1560[/tex]
[tex]13 \cdot k=1560[/tex]
[tex]k=120[/tex]
[tex]a=\frac{120}{2} =60[/tex]
[tex]b= \frac{120}{3} =40[/tex]
[tex]c=\frac{120}{4} =30[/tex]
2. Aflati numerele a,b,c ∈ Q,stiind ca sunt invers proportionale cu 2,5,6 si ca a-b=15.
[tex]2a=5b=6c=k[/tex]
[tex]a=\frac{k}{2}[/tex]
[tex]b=\frac{k}{5}[/tex]
[tex]c=\frac{k}{6}[/tex]
[tex]a-b=15[/tex] ⇒ [tex]\frac{k}{2} - \frac{k}{5} = 15[/tex] ⇒ [tex]5k-2k=150[/tex] ⇒ [tex]k=50[/tex]
[tex]a=\frac{k}{2} =25[/tex],
[tex]b=\frac{k}{5} =10[/tex]
[tex]c = \frac{k}6{} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}[/tex]
3. Aflati numerele x si y, stiind ca sunt invers proportionale cu 3 si 2,(4) si ca media lor aritmetica este 263
[tex]2,(4)= 2\frac{4}{9}=\frac{22}{9}[/tex]
[tex]a,b[/tex] i.p cu [tex]3[/tex] si [tex]\frac{22}{9}[/tex]
[tex]3 \cdot a=\frac{22 \cdot b}{9} =k[/tex]
[tex]a=\frac{k}{3}[/tex]
[tex]22 \cdot b=9 \cdot k[/tex]
[tex]b=\frac{9 \cdot k}{22}[/tex]
[tex]ma =\frac{(a+b)}{2} =263[/tex]
[tex]a+b=263 \cdot 2[/tex]
[tex]a+b=526[/tex]
[tex]\frac{k}{3} + \frac{9 \cdot k}{22} =526[/tex]
[tex]22 \cdot k+27 \cdot k =34716[/tex]
[tex]49 \cdot k=34716[/tex]
[tex]k= \frac{34716}{49}[/tex]
[tex]a= \frac{\frac{34716}{49}}{2}= {\frac{34716}{49} \cdot \frac{1}{2}= \frac {17358}{49}[/tex]
[tex]b= 9 \cdot \frac{\frac{34716}{49}}{22}= 9 \cdot {\frac{34716}{49} \cdot \frac{1}{22}= 9 \cdot \frac{1578}{49} = \frac{14202}{49}[/tex]
4. Suma a patru numere este 5. Stiing ca ele sunt invers proportionale cu ; ; 0,4; 0,2, aflati numerele.
[tex]a+b+c+d=5[/tex]
[tex]\frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot b = \frac{2}{5} \cdot c = \frac{1}{5} \cdot d[/tex]
[tex]b = \frac{3}{2} \cdot a[/tex]
[tex]c = \frac{5}{4} \cdot a[/tex]
[tex]d = \frac{5}{2} \cdot a[/tex]
[tex]a+ \frac{3}{2 \cdot a}+ \frac{5}{4 \cdot a}+ \frac{5}{2 \cdot a}=5[/tex]
[tex]4 \cdot a+6 \cdot a+5 \cdot a+5 \cdot a=20[/tex]
[tex]a=1[/tex]
[tex]b= \frac{3}{2}[/tex]
[tex]c= \frac{5}{4}[/tex]
[tex]d= \frac{5}{2}[/tex]
5. Determinati numerele x,y,z stiind ca sunt invers proportionale cu 0,5; 0,(3)l 0,25 si ca 6a+2b-5c=50
[tex]\frac{3}{9} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot b = \frac{1}{4} \cdot c =k[/tex]
[tex]a= 3 \cdot k[/tex] [tex]a= 3 \cdot 25=75[/tex]
[tex]b=2 \cdot k[/tex] [tex]b= 2 \cdot25 =50[/tex]
[tex]c=4 \cdot k[/tex] [tex]c=4 \cdot 25 =100[/tex]
[tex]6 \cdot 3 \cdot k + 2 \cdot 2 \cdot k -5 \cdot 4 \cdot k= 50[/tex]
[tex]18\cdot k+ 4 \cdot k -20 \cdot k= 50[/tex]
[tex]2 \cdot k= 50[/tex]
[tex]k=25[/tex]
6. Gasiti doua numere naturale x si y invers proportionale cu numerele 0,2 si 0,5, stiind ca suma dintre dublul primului si triplul celuilalt este 48.
[tex](x;y) i.p. (0,2;0,5)[/tex]
[tex]2 \cdot x+3 \cdot y=48[/tex]
[tex]\frac{x}{0,2} =\frac{x}{0,5}=K[/tex] ⇒ [tex]x \cdot \frac{2}{10} =y \cdot \frac{5}{10} =K[/tex]
[tex]\frac{x}{0,2}=\frac{x}{0,5}=K => x \cdot \frac{2}{10} =y \cdot \frac{5}{10} =K[/tex]
[tex]x=K = \frac{2}{10} = \frac{10}{2 \cdot K} =5 \cdot K\\[/tex]
[tex]y=K = \frac{5}{10} = \frac{10}{ 5 \cdot K} =5 \cdot K\\ = 2 \cdot K[/tex]
[tex]2 \cdot 5 \cdot K+3 \cdot 2 \cdot K=48[/tex]
[tex]10 \cdot K+6 \cdot K=48[/tex]
[tex]16 \cdot K=48[/tex]
[tex]K=48:16[/tex]
[tex]K=3[/tex]
[tex]x=3 \cdot 5=15[/tex]
[tex]y=3 \cdot 2=6[/tex]
