👤
IDSERBANPINTEA2007
a fost răspuns

In figura 3 este schiţa unei grădini ABCD în formă de pătrat cu latura de 20 m în interiorul căreia sunt înscrise patru cercuri de raze egale tangente la laturile pătratului şi tangente între ele două câte două. În interiorul cercurilor sunt lalele, în centrul pătratului între cele patru cercuri sunt plantaţi trandafiri iar restul suprafetei este cultivat cu gazon.
a).Aflaţi suprafaţa cultivată cu lalele.
b) Arătaţi că suprafaţa plantată cu trandafiri este mai mică decât 22 m² c) Punctele M, N, P şi R sunt centrele celor patru pătrate. Un bondar zboară în linie dreaptă din punctul M, trece prin punctele N şi P şi ajunge în punctul R. Aflati lungimea traseului parcurs de bondar. ​

In Figura 3 Este Schiţa Unei Grădini ABCD În Formă De Pătrat Cu Latura De 20 M În Interiorul Căreia Sunt Înscrise Patru Cercuri De Raze Egale Tangente La Laturi class=

Răspuns :

Răspuns:

a) Aria cu lalele este 314 m²

b) Aria cu trandafiri este 21,5 m² < 22 m²

c) Lungimea traseului bondarului este 34,14 m

Explicație pas cu pas:

a)

Pentru ca latura patratului este 20m, inseamna ca 1/2 din ea este lungimea diametrului d al fiecarui cerc⇔

d = AB/2 = 20/2 = 10 m

⇒ Raza r a fiecarui cerc este

r = d/2 = 10/2 = 5 m

Aria A1 a unui cerc este

A1 = π· r² = π · 5² = 25·π

Aria cu lalele este

4 · A1 = 4 · 25 · π = 100π m² = 314 m²

b)

Daca desenam cele 2 linii mijlocii ale patratului ABCD, observam ca suprafata cu trandafiri e fomata din 4 "triunghiulete" congruenta care au ca "baze"arce de cerc congruente avand fiecare masura de 90°. (Daca vrem, putem sa evidentiem chiar cele 4 Δ congruenta care au, fiecare, drept baza coarda ce subintinde fiecare arc.) In mod analog, intre A si D avem alte 4  "triunghiulete",  intre B si C avem alte 4  "triunghiulete", iar la mijloc, 2 la stanga si 2 la dreapta. Deci aria fara lalele e formata din

4+4+4+2+2 =16  "triunghiulete"

Diferenta dintre suprafata A a lui ABCD si suprafata 4 · A1  care are  lalele este

A - 4·A1 = 20² - 314 = 400 - 314 = 86 m²

Aria a a unui "triunghiulet" este

a = 86 : 16 = 5,375 m²

Aria A2, cea cu trandafiri are 4 "triunghiulete" ; ea este

A2 = 4 · 5,375= 21,5 m²

21,5 m² < 22 m²

⇔

A2 < 22 m²

c)

In Δ NMP, dreptunghic in M, aplicam t. lui Pitagora pt. aflarea ipotenuzei:

NP² = MN² + MP²

Dar MN = MP = PR = RN = 2·r = d = 10 m

⇒

NP² = (2·r)² +  (2·r)² = 2 · 4 · r² = 8 · 5² = 8 · 25 = 200

NP = √200 = 10√2 m

Traseul bondarului nostru este

MN + NP + PR = 10 + 10√2 + 10 =

= 20+ 10√2 = 10(2 + √2) = 34,14 m

Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de sprijin suplimentar, vă încurajăm să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne bucură, iar dacă v-a plăcut, nu uitați să adăugați site-ul nostru la favorite!


ID Teachingsy: Alte intrebari