Răspuns:
Explicație pas cu pas:
avand in vedere ca puterile lui i sunt ciclice si se repeta din 4 in 4 (i, -1, -i, 1),
atunci factorii lui z ( adica parantezele care se inmultesc) se repeta din 4 in 4, fiind:
(1 + ai)(1 - a)(1 - ai)(1 + a), apoi se repeta.
examinam cela 4 cazuri in care n se poate afla fata de 4
1.
n = 4*x, cu x numar natural nenul
z = (1 + ai)(1 + ai²)(1 + ai³)• ... •(1 + ai⁴ˣ) = [(1 + ai)(1 -a)(1 - ai)(1 + a)]ˣ =
= [(1 + ai)(1 - ai)(1 -a)(1 + a)]ˣ = [(1 - a²i²)(1 -a²)]ˣ = [(1 + a²)(1 -a²)]ˣ = (1 - a⁴)ˣ
care este numar real
2.
n = 4*x + 1, x numar natural nenul
z = (1 + ai)(1 + ai²)(1 + ai³)• ... •(1 + ai⁴ˣ)•(1 + ai⁴ˣ+¹) = (1 - a⁴)ˣ•(1 + ai)
care nu este numar real, deoarece a este diferit de 0
3.
n = 4*x + 2, x numar natural nenul
z = (1 + ai)(1 + ai²)(1 + ai³)• ... •(1 + ai⁴ˣ)•(1 + ai⁴ˣ+¹) •(1 + ai⁴ˣ⁺²) = (1 - a⁴)ˣ•(1 + ai)•(1 - a)
care nu este numar real, deoarece a este diferit de 0
4.
n = 4*x + 3, x numar natural nenul
z = (1 + ai)(1 + ai²)(1 + ai³)• ... •(1 + ai⁴ˣ)•(1 + ai⁴ˣ+¹) •(1 + ai⁴ˣ⁺²)•(1 + ai⁴ˣ⁺³) =(1 - a⁴)ˣ•(1 + ai)•(1 - a)•(1 - ai) = (1 - a⁴)ˣ•(1 + ai)•(1 - ai)•(1 - a) = (1 - a⁴)ˣ•(1 - a²i²)•(1 - a) = (1 - a⁴)ˣ•(1 + a²)•(1 - a) care este numar real
Asadar, n = 4x sau n = 4x+3 , cu x ∈ N
