Explicație pas cu pas:
S = 2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹
a) 2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹
Observăm faptul că :
2⁰+2¹+2²+2³ = 1+2+4+8 = 15
scriem mai detaliat S-ul, adica ce s-a dat
(2⁰+2¹+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶+2⁷)+...+([tex]2^{92}[/tex]+[tex]2^{93}+2^{94}+2^{95}[/tex])+(2⁹⁶+2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹)
=> observare, avem factori comuni , nu le-am mai scris pe toate, ca nu mai are rost, doar sa se vada de unde am pornit si unde ajungem
= 2⁰·(2⁰+2¹+2²+2³)+2⁴·(2⁰+2¹+2²+2³)+...+[tex]2^{92}[/tex]·(2⁰+2¹+2²+2³)+2⁹⁶·(2⁰+2¹+2²+2³)
observam ca in paranteze am obtinut aceleasi cifre, care mai sus calculat ne-a dat 15
ne intoarcem si inlocuim fiecare paranteza cu 15
2⁰·15+2⁴·15+...+[tex]2^{92}[/tex]·15+2⁹⁶·15= (2⁰+2⁴+...+2⁹⁶)·15
observam ca toata ecuatia se poate inmulti cu 15, de aici rezulta ca S se si imparte exact la15
b) S = 2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹
2S = 2¹+2²+2³+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰
2S - S = (2¹+2²+2³+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰) - (2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹)
S = 2¹⁰⁰ - 2⁰
S = 2¹⁰⁰ - 1
Observăm faptul că 2¹⁰ = 1024 > 1000
S = (2¹⁰)¹⁰ - 1 = 1024¹⁰ - 1 > 1000¹⁰ - 1 = (10³)¹⁰ - 1 =
= 10³⁰-1 = 1000...000 (30 de bucati de 9) - 1 = 9999...9999 (30 de bucati de 9)
S are cel puțin 30 de cifre
sper ca te-am ajutat :)
